วันพุธที่ 24 เมษายน พ.ศ. 2556

คะแนนที (Tscore) และ คะแนนซี (Z score)


คะแนนที (Tscore) เป็นคะแนนที่นำคะแนนดิบมาผ่านขั้นตอนทางสถิติ ทำให้สามารถวัดได้ว่าผู้เข้าสอบมีความสามารถเป็นอย่างไรเมื่อเทียบกับผู้เข้าสอบ(ในวิชาเดียวกัน)ทั้งหมด สามารถบอกได้มีคนเก่งกว่าเรากี่คน และเราทำคะแนนชนะผู้อื่น อยู่กี่คน
ในการคำนวณคะแนนที เราจะหาคะแนนซี (Z score) ก่อน โดย คะแนนซีของคะแนนค่าใด ๆ คำนวณได้จากสูตร
คะแนนใดที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยจะได้คะแนนซี เท่ากับศูนย์ คะแนนที่มีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะได้คะแนนซีที่มีค่าติดลบ ดังนั้นเราจึงนิยมแปลงคะแนนซี ให้เป็นคะแนนที เพื่อให้พ้นค่าติดลบเหล่านี้โดยใช้สูตร
คะแนนที จึงเป็นการแปลงคะแนนของกลุ่ม โดยทำให้มีคะแนนเฉลี่ยของกลุ่มเป็น 50 และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 นั่นเอง คะแนนสอบทั้งกลุ่มจึงมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 100
โดยธรรมชาติ นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่า ถ้าจับเอาคนหลาย ๆ คนมาทดสอบสติปัญญาด้วยข้อสอบที่เป็นมาตฐาน ความสามารถหรือสติปัญญาของมนุษย์จะมีการแจกแจงความถี่เป็นแบบโค้งปกติ ดังภาพที่ 1 นั่นคือ คนที่ทำข้อสอบได้คะแนนสูงมาก ๆ และต่ำ มาก ๆ จะมีเป็นจำนวนน้อย คนส่วนใหญ่จะทำข้อสอบได้คะแนนปานกลาง เมื่อนำความถี่ของแต่ละคะแนนมาพล็อตกราฟ จะได้เป็นเส้นโค้งรูประฆังคว่ำ หรือเส้นโค้งปกติ
แต่ในความเป็นจริงในเชิงปฏิบัติ ข้อสอบอาจเป็นข้อสอบที่ง่ายเกินไปหรือยากเกินไป ข้อสอบไม่สามารถจำแนกคนเก่ง หรือคนอ่อนได้ จะทำให้การแจกแจงความถี่ของคะแนนผู้เข้าสอบไม่เป็นโค้งปกติ อาจทำให้เส้นโค้งนั้นเบ้ขวา Positively Skewed กรณีนี้แสดงว่าข้อสอบยากไป
หรือทำให้เส้นโค้งแสดงการแจกแจงความถี่เบ้ไปทางซ้าย Negatively Skewed
การแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนที แบบนี้ เรียกว่า เป็นการแปลงเชิงเส้นตรง (linear transformation) ถ้าคะแนนดิบมีการแจกแจงความถี่เป็นเส้นโค้งที่มีลักษณะเบ้อย่างไร คะแนน Z และ คะแนน T ที่ได้ ก็จะเบ้ไปตามเช่นนั้นด้วย จึงแก้ปัญหาในกรณีเช่นนี้ด้วยการใช้คะแนนทีปกติ (Normalized T score)
คะแนนทีปกติ ก็เหมือนกับคะแนนทีที่กล่าวมาแล้วข้างต้น เป็นคะแนนที่ใช้บอกตำแหน่งที่สอบได้ ไม่ขึ้นอยู่กับคะแนนดิบหรือคะแนนเต็ม สิ่งที่ต่างกันคือตำแหน่งที่ได้ได้มาจากการเปรียบเทียบกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ วิธีการนี้จะเปลี่ยนคะแนนดิบที่มีการแจกแจงความถี่ไม่เป็นโค้งปกติ โดยการเกลาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของคะแนนดิบให้สอดคล้องกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ แล้วจึงเปลี่ยนจากคะแนน Z ให้เป็นคะแนนที อีกทอดหนึ่ง

ขั้นตอนการคิดคะแนนทีปกติ
จะขอยกตัวอย่างประกอบคำอธิบายไปพร้อม ๆ กันเลยดังนี้
ในการสอบวิชาหนึ่ง จำนวนนักศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดังนี้
24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15
การแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนทีปกติ ให้ทำตามลำดับขั้นดังนี้
1. เขียนคะแนนดิบเรียงจากมากไปหาน้อย ให้คะแนนสูงสุดอยู่ด้านบน หาความถี่ของคะแนนแต่ละคะแนนดังรูปที่ 1
2. หาความถี่สะสม โดยการนำความถี่ของคะแนนนั้น รวมกับความถี่สะสมของคะแนนที่อยู่ต่ำกว่าตัวมันเอง 1 บรรทัด จะเห็นว่าความถี่สะสมบรรทัดบนสุด จะมีค่าเท่ากับจำนวนคนที่เข้าสอบ

3. คำนวณหาค่า (cf + 0.5 f) ค่านี้จะนำไว้ใช้หา Percentile ของคะแนน ความหมายของสูตรนี้คือ ให้นำความถี่สะสมของคะแนนบรรทัดที่อยู่ต่ำกว่า 1 บรรทัด + ครึ่งหนึ่งของความถี่ของคะแนนในบรรทัดนั้น
4. เปิดตารางการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนทีปกติ โดยใช้ค่าในคอลัมน์ (cf + 0.5f) ได้สแกนค่าบางส่วนของตารางมาเทียบให้ดูเป็นตัวอย่างดังนี้ (ตารางนี้ ผู้เขียนได้รับแจก ตั้งแต่สมัยเข้าบรรจุเป็นครูใหม่ ๆ เข้าใจว่ากระทรวงศึกษาธิการยุคนั้นเป็นผู้เผยแพร่ ที่หัวตารางเขียนไว้ว่าเป็นของ อาจารย์ชวาล แพรัตกุล ตารางนี้ใช้ได้กับจำนวนผู้เข้าสอบตั้ง 10 คน แต่ไม่เกิน 60 คน)

ช่องที่เราต้องใช้คือช่องซ้ายมือสุด เป็นค่า (cf + 0.5f) และช่องที่ระบุจำนวนผู้เข้าสอบ 20 คน (ล้อมกรอบด้วยเส้นสีแดง) วิธีอ่านค่าจากตารางคืออ่านคลุมแนวตั้งตั้งแต่ด้านบนลงมาด้านล่าง ค่า ( cf + 0.5f ) ค่าแรกสุดในตารางของเรา คือ 19.5 เมื่อดูจากตารางพบว่าจะได้ค่า คะแนนทีปกติเท่ากับ 70
ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 2 คือ 18.5 เมื่อดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนนทีปกติ เท่ากับ 64
ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 3 คือ 16.5 เมื่อดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนนทีปกติ เท่ากับ 59
ทำเช่นนี้เรื่อย ๆ ไปจนครบทุกบรรทัด


ถ้าจำนวนผู้เข้าสอบมีเป็นจำนวนมาก เช่นเกิน 60 คน ขึ้นไปในที่นี้ ก็จะไม่สามารถใช้ตารางนี้หาคะแนนทีปกติ ได้
ในโปรแกรมคำนวณคะแนนทีปกตินี้ ได้เพิ่มช่อง Percentile ซึ่งจะเป็นตัวบอกว่าผู้เข้าสอบมีตำแหน่งของคะแนนเหนือกว่าผู้สอบทั้งหมดอยู่เท่าไร เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตรงตำแหน่งผู้เข้าสอบนั้นอยู่
เมื่อนำพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ คูณด้วย 100 จะได้ค่า Percentile ของคะแนนของผู้เข้าสอบรายนั้น เมื่อทราบพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เราสามารถหาย้อนกลับได้ว่า คะแนน Z เท่าใดทำให้เกิดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ค่าดังกล่าว สมการของเส้นโค้งปกติหาได้จาก

เมื่อได้ค่า คะแนน Z แล้ว หาคะแนน T ปกติ ได้จาก

เมื่อเพิ่มคอลัมน์ Percentile จะได้ดังตาราง

เปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากโปรแกรม ในโปรแกรมจะเห็นว่าคำนวณคะแนนที ปกติ เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง ขณะนี้อาศัยการเปิดตารางจะได้คะแนนที ปกติ เป็นจำนวนเต็ม



การตัดเกรด
การกระจายของความถี่ของคะแนนผู้เข้าสอบจะมีลักษณะเป็นโค้งปกติ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน % พื้นที่ใต้เส้นโค้งสะสม คะแนน Z และคะแนน T แสดงเปรียบเทียบ ได้ดังรูป


ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะกรณีแบ่งการตัดเกรดออกเป็น 5 เกรด คือ A, B, C, D และ F (ถ้าจะแบ่งเกรดให้เป็น A, B+, B, C+, C, D+, D และ F เพียงซอยย่อยบริเวณของแต่ละเกรดออกเป็น สองส่วนเท่านั้น )
จากตัวอย่าง ในการสอบวิชาหนึ่ง จำนวนนักศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดังนี้
24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15
เมื่อแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนทีปกติแล้วจะได้ดังตาราง ( ดูวิธีการในหัวข้อ การคำนวณคะแนนทีปกติ)

เมื่อผู้ใช้เลือกตัดเกรด A, B, C, D, F
หาพิสัย (Range) ของคะแนน ในที่นี้คือ
(คะแนนทีปกติค่าสูงสุด – คะแนนทีปกติค่าต่ำสุด)/ จำนวนเกรดที่จะตัด
= (70 -30) / 5 = 8
คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 + 1.5 * พิสัย จะได้เกรด A
50 + 1.5*8 = 62 คะแนน T ปกติ 62 ขึ้นไปจึงจะได้ A
คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 + 0.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 +1.5* พิสัย จะได้เกรด B
50 + 0.5 *8 = 54 คะแนน T ปกติ 54 ถึง 61 จะได้ B
คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 - 0.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 + 0.5* พิสัย จะได้เกรด C
50 - 0.5 *8 = 46 คะแนน T ปกติ 46 ถึง 53 จะได้ C
คะแนนทีปกติ เท่ากับหรือมากกว่า 50 -1.5* พิสัย แต่ไม่ถึง 50 – 0.5* พิสัย จะได้เกรด D
50 - 1.5 *8 = 38 คะแนน T ปกติ 38 ถึง 45 จะได้ D
คะแนนทีปกติ ที่น้อยกว่า 50 -1.5* พิสัย จะได้เกรด F
คะแนนทีปกติที่น้อยกว่า 38 จะติด F
นำเกรดที่ได้ไปเขียนลงในตาราง จะเป็นดังนี้
ทดลองนำข้อมูลคะแนนเหล่านี้ไปป้อนให้โปรแกรม Normalized T score Calculation ทำงาน จะได้ผลลัพธ์ที่ตรงกัน ดังภาพ

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น